Harmonisten oskillaattorien fraktaalirakenne musiikissa: uudenvuoden konsertti: JS.Bach. Brandenburgin konsertit.

Eri musiikkiteosten rakenteen analysointi on osoittanut, että eri säveltäjien eri ajankohtina tekemissä nuotteissa on joitain yhteisiä elementtejä. Se on yksi Bachin Brandenburgin konsertteja, Babbit-jousikvartettoa # 3, Scott Joplinin pianoteoksia. Kaikilla näillä teoksilla on sama muoto, jos rakennetta tarkastellaan taajuuksien suhteen. Selitämme tämän alla.

Eri musiikkiteosten kuuloanalyysissä tutkittu määrä on musiikin äänivoima. Tämä määrä on pohjimmiltaan energia, joka säteilee ääniaaltojen muodossa joka sekunti musiikkiteoksen suorittamisen yhteydessä. Analysoimalla kuinka tämä määrä on järjestetty taajuuden suhteen, saadaan niin kutsuttu spektri.

Kuinka eri musiikkiteosten spektrit riippuvat taajuudesta?

Eri musiikkiteoksista tehdyt analyysit ovat osoittaneet, että niiden spektrit riippuvat taajuudesta, jota kutsumme f-kirjaimella, kuten (1 / f). Jos muistamme edellisessä luvussa analysoidun, näemme, että tämä spektri on voimalaki, joka matemaattisessa kielessä riippuu käänteismuodossa olevasta taajuudesta f: n ensimmäiseen voimaan (koska f: n eksponentti (1) / f) on 1). Siksi, kuten jo kuvattiin, tämä spektri on itsestään samanlainen ja sisältää siten fraktaalirakenteen.

Edellisessä kappaleessa mainittua tyyppistä spektriä kutsutaan vaaleanpunaiseksi spektriksi.

Miksi Bach ja monet muut säveltäjät valitsivat vaaleanpunaisen spektrin? Tosiasia on, että kukaan muusikko ei ole koskaan kuullut näistä ideoista, vaan vähemmän valinnut ne tarkoituksella. Jotta ymmärrämme mitä tapahtuu, selitämme kuinka musiikki tekisi muun tyyppisellä spektrillä.

Yksi tapa olisi seuraava: Jokainen kirjoitettu nuotti on sellainen, että sen sijainti ja kesto eivät ole lainkaan riippuvaisia ​​aiemmista nuotteista tai niiden kestosta. Tässä tapauksessa sanotaan, että koostumus on täysin satunnainen tai stokastinen. Esimerkki tämän tyyppisestä musiikista on esitetty kuvassa 33 (a). Tämän tyyppisen musiikin äänitehonspektri on sama kaikille taajuusarvoille, mikä tarkoittaa, että tehon arvo on sama kaikille taajuusarvoille, ts. Se on määrä vakio. Matemaattisesti spektri riippuu taajuudesta (1 / f0), koska f0 = 1. Tämän tyyppistä spektriä kutsutaan valkoiseksi. Jos tällaista musiikkia soitettaisiin soittimella, kuulemme sen ilman rakennetta; Se antaa myös vaikutelman, että yhdestä nuotista toiseen tulee aina olemaan yllätys.

Toinen päätyyppinen spektrityyppi on taajuudesta (1 / f²) riippuvainen, nimeltään ruskea tai ruskea. Nimi annettiin, koska se liittyy luvussa IV käsiteltyyn Brownin liikkeeseen. Kuvio 33 (b) esittää musiikkia, jolla on ruskea spektri. Musiikissa kukin nuotti ja sen kesto riippuvat huomattavasti aiemmista nuotit. Siksi tunne, joka sinulla on kuunnellessasi sitä, että jotkut nuotit on soitettu, seuraavat ovat ennustettavissa.

Kuvassa: (a) Esimerkki valkoisesta musiikista. (b) Esimerkki ruskeasta musiikista. c) Esimerkki vaaleanpunaisesta musiikista.

Musiikki, jolla on vaaleanpunainen spektri, eli (1 / f), on niin sanottuna satunnaisen musiikin (valkoinen spektri) ja deterministisen musiikin (ruskea spektri) tapauksissa. Tässä tapauksessa nuotit ja niiden kesto eivät ole kovin ennustettavissa eivätkä kovin yllättäviä. Esimerkki tämän tyyppisestä musiikista on esitetty kuvassa 33 (c).

Palaaen edellä esitettyyn kysymykseen: miksi säveltäjät käyttivät tehokkaasti vaaleanpunaisia ​​spektriä, ts. Valtalakia (1 / f) säveltääkseen musiikkiaan?, Voidaan sanoa, että säveltäjät ovat yrittäneet, ja varmasti monet He onnistuivat säveltämään mielenkiintoista musiikkia. Kysymys tulisi herättää seuraavasti: miksi mielenkiintoisella musiikilla on vaaleanpunainen kirjo? Vastaus voisi olla, että tämän tyyppisellä spektrillä varustettu musiikki ei ole kovin ennustettavissa (ruskea spektri) eikä kovin yllättävää (valkoinen spektri). Hollantilainen tutkija Balthazaar van de Pol sanoi kerran, että Bachin musiikki on hienoa, koska se on väistämätöntä ja samalla yllättävää, mikä tarkoittaa, että sen spektri on vaaleanpunainen.

Koska musiikki, jolla on vaaleanpunainen spektri, on samankaltainen, sen rakenne on samanlainen eri taajuusasteikoilla. Taajuusasteikolla tapahtuvan täytyy tapahtua missä tahansa muussa taajuusasteikossa. Jos tällainen sävellys nauhoitettiin magneettinauhalle tietyllä nopeudella ja soitettaisiin eri nopeuksilla, se, mitä kuullaan, olisi samanlainen kuin nauhoitettu. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, mitä tapahtuu ihmisen äänelle, koska kun äänitys toistetaan nopeudella, esimerkiksi kahdesti mitä pitäisi tehdä, se kuulostaa erittäin kovalla äänellä. Yksi tapa osoittaa samankaltaisuutta on elektronisen laitteen avulla, joka tuottaa haluamiesi taajuuksien ääniä. Jos kuuluu ääni, joka on kahden nuotin superpositio, jokaisen nuotin ollessa edellisen oktaavi (kaksitaajuus) ja alkaa nuotilla 10 hertsiä (Hz), (1 hertsi = 1Hz = 1 / s), Seuraavat 11 nuottia olisivat taajuuksia:

20 = 2 x 10, 40 = 4 x 10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 512 x 10, 10 240 = 1024 x 10 ja

20 480 = 2 048 x 10, kaikki Hz-yksikköinä.

Nyt vaihdetaan kaikki nämä nuotit toisiin, jotka ovat puolisävyn korkeampia taajuuksia (vastaavat pianon kahden peräkkäisen nuotin eroa); puoliäänitaajuus saadaan edellisestä nuotista kerrottuna 1, 05946. Nyt soitetaan ääni, joka on seuraavien taajuuksien superpositio:

10 x 1, 0594 = 10, 6, 20 x 1, 05946 = 21, 2,

40 x 1, 05946 = 42, 38, 80 x 1, 05946 = 84, 76,

160 x 1, 05946 = 169, 51, 320 x 1, 05946 = 339, 03,

640 x 1, 05946 = 678, 06, 1 280 x 1, 05946 = 1356, 11,

2560x 1, 05946 = 2712, 22, 5120 x 1, 05946 = 5424, 44,

10240 x 1, 05946 = 10848.88 ja 20480 x 1.05946 = 21697.74 Hz

Tämä ääni kuuluu äänekkäästi kuin edellinen.

Jos jokaisen nuotin taajuutta kasvatetaan yhdellä puolivälillä taas, uusien äänien superpositio tuottaa korkeamman äänen. Jos jokaisen äänikomponentin lisääminen yhdellä puolijalalla toistetaan 12 kertaa, käy ilmi, että tuotettu ääni on erotettavissa alkuperäisestä! Tämä on musiikillinen esitys itsensä samankaltaisuudesta.

Lisäksi, jos otamme kuulumattomia aika- / spektrikaavioita viitteeksi, meillä on, että yli 20 Hz: n ja yli 28 000 Hz: n vivahteissa saamme harmonisen logaritmin, joka ilmaistaan ​​yhden ja kahden tapahtuman peräkkäin. hiljaisuudessa:

Avain harmonisiin oskillaattoreihin on kuulumattoman spektrin hiljaisuuden tai taajuusketjujen peräkkäisissä osissa.

Yllä olevien konseptien yhdistelmä johtaa tähän ihmeeseen, jota tarjoamme vastaanottaa uuden vuoden 2011: